折り紙と数学で遊んでた話

というわけで

とある事情で小学校算数～中学校数学辺りの教え方について考えていて、その過程で「折り紙」を上手く活用出来ないかなぁと思い立って遊んだり調べてたりしたのでこの辺りで一旦それをまとめてみたいと思います。

折り紙公理

先ず、折り紙で算数、数学周りのことを遊んでいく上で重要になる、折り紙公理についてです。これは以下の7つの公理から成ります。

2点A,Bを通る折り方が唯一存在する。
点Aを別の点Bに重ねる折り方が唯一存在する。
直線lを別の直線mに重ねる折り方が唯一存在する。
点Aと直線lについて、直線lに垂直かつ点Aを通る折り方が唯一存在する。
2点A,Bと直線lについて、点Aを直線lに重ねてかつ点Bを通る折り方が0～2個存在する。
2点A,Bと2直線l,mについて、点Aを直線lに重ねてかつ点Bを直線mに重ねる折り方が0～3個存在する。
点Aと2直線l,mについて、点Aを直線lに重ねてかつmに垂直な折り方が0～1個存在する。

作図

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①～③は分かりやすいですね。コンパスと定規による古典的作図でも折り線を特定できます。
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④も簡単に出来るでしょう。

⑤について。半径ABで点Bが中心となる円ωと直線lとの交点Pを先ずとります。すると、線分APの垂直二等分線が求める折り方になります。折り方が0～2個存在するというのは、円ωと直線lとの交点Pが0～2個存在することに由来します。
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⑥について。2点A,Bをそれぞれ2直線l,mに重ねたいのでしたね。点Aからの距離と直線lからの距離が等しい点の集合、即ち点Aを焦点、直線lを準線に持つような放物線αと、同様に作られる放物線βを考えてみましょう。それぞれの放物線の接線を考えてやると、それを折り線にしてやれば点A(ないしB)は直線l(ないしm)に必ず重なりますね。ということは、それらを同時に叶えてやれる直線、即ち2放物線α,βの共通接線が、求める折り方になります。

折り方の個数と共通接線の本数に関しての図より先に、⑦の説明を済ませてしまいましょう。

⑦について。これは点Aを通って直線mに平行な直線と直線lとの交点Pを先ずとります。すると、線分APの垂直二等分線が求める折り方になります。2直線l,mが平行でなければ点Pは唯一存在しますし、平行なら点Pは存在しません。

では、⑥の補足です。ここでは簡単に図だけ示しておきますが、特殊な場合を利用して三次方程式と上手く関連付ける操作を、この記事の下部『折り紙公理6の強さと三次方程式』の章で扱っていますので、そちらも是非合わせて見てみて下さい。
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芳賀の定理

折り紙の一辺の長さの $\frac{1}{2^n}$ を折るのは簡単ですね。ひたすら半分に折り続ければ出来ます( $n$ が大きくなると別の意味で不可能になりますが)。

では、 $\frac{1}{3}$ 等、違った長さは作れるのでしょうか。ここに、「芳賀の定理」が関係してきます。

定理の内容

芳賀の定理は第一定理から第三定理まであります。長々と書くより先に、図を出してしまいましょう。
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定理の証明

証明は以下の通りです。図形の性質から押したかったので未知数を $x$ っておいて処理したくなかったのですが、第三定理はコレよりマシな方法思いつきませんでした。
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というわけで、一辺の $\frac{1}{3}$ の長さはこの手順で得られることが分かります。

定理の一般化

では、他の有理数はどうでしょうか?第一定理の図を一般化して考えてみましょう。
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$\text{AQ}=x$ としてやると、第一定理と同じ手順を踏むことで $\text{PD}=\frac{2x}{1+x}$ が得られます。 $x=\frac{1}{n}$ を代入すると、 $\text{PD}=\frac{2}{1+n}$ になります。2等分は簡単なので、 $\frac{1}{n}\rightarrow\frac{1}{n+1}$ が得られると言えます。

元々 $\frac{1}{2}$ は作れるので、後は数学的帰納法から任意の自然数 $n$ に対して $\frac{1}{n}$ が作れることが言えます。これを増やしていけば良いだけなので、折り紙を折るだけで任意の有理数が作れることがわかりました。

二次曲線

放物線

放物線の定義と言えば何があるでしょうか。一つには、

定点からの距離と定直線からの距離が等しい点の集合

があります。

ところで、2定点 $\text{A,B}$ からの距離が等しい点の集合ってなんでしたっけ? そうですね。線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線です。直線は点の集合なわけですから、全部とはいかないまでも幾つかの点を代表で選べば直線の代わりにしてやれそうです。

ここまでを押さえて、折り紙上に「放物線」を作ってみましょう。とはいっても、上で述べたみたいに直線を幾つかの点で代表して代用するので、正確な放物線にはなりません。包絡線から曲線の形を見てやるようなものになります。

直線としては、簡単のためにどれか好きな一辺を選んでやりましょう。次に、その辺の中点から垂直に数cm離れたところに点を打ちましょう。そしたら、場所を変えながら、先程の点と選んだ一辺とが重なるように折っていきましょう。満遍なく15回以上も折っていけば、だんだん形が見えてくると思います。

参考までに、見やすいように折り線の中で一番内側に来ているものを赤線で順に繋いだものが、コレになります。
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折り線群に対して放物線が包絡線になっていることがわかるかと思います。

その他の二次曲線

さて、その他の二次曲線は折り紙で作れるのでしょうか。円はコンパスで一発なのでどっちでも…という感じですが。

楕円

2定点からの距離の和が一定である点の集合

双曲線

2定点からの距離の差が一定である点の集合

どちらも、一定の長さを扱いたいわけですが、これを正方形の折り紙だけで解決するのは厳しいです。

大体私が詰まってしまうような箇所は既により強い先駆者が通り抜けてきたような箇所なわけで、今回は
みやこ鳥
が私のやりたかったことをキレイに解決していました。以下、リンク先のPDFを参考にしています。

では、実際にやっていきましょう。

「一定の長さ」ということで、「円」を上手く活用します。
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上図のように、円と定点を決めます。簡単のために、楕円を作る際には紙を円形に切ってから後の操作をすると良いでしょう。また、双曲線の方も定点を辺上にとってやると良いでしょう。

円と定点が決まったら、定点と円周が重なるように場所を変えながら何回も折っていきます。

参考までに、見やすいように折り線の中で一番内or外に来ている部分を赤線で順に繋いだものが、コレになります。
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折り線群に対して、それぞれ楕円、双曲線が包絡線になっていることがわかるかと思います。

念の為、本当に円をこの様に使っただけで楕円、双曲線の定義を満たせているかを確認しておきましょう。
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上図で、それぞれ赤+緑、|赤-緑|が円の半径に等しいことが確認出来ますね。

折り紙公理6の強さと三次方程式

コンパス、定規を用いた古典的作図は、2次までの多項式にしか対応しないため、任意の角の三等分や立方根を求めることが出来ませんでした。一方、折り紙を折る操作を考えると、折り紙公理6が最大3つの解を持つのでしたね。この公理6と三次方程式とが関係していることを、今から確認してみましょう。

まずは一般的に

計算を簡単にするため、そして実際に折る際に楽にするために、以下のように座標と2点 $(-\alpha,~\beta),(-\gamma,~\delta)$ を取りましょう。図では $\delta<0$ の場合を示しています。 $\delta>0$ の場合は上下逆さまのような図になります。
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折り紙公理6を適用し、

点 $(-\alpha,~\beta)$ を直線 $x=\alpha$ に
点 $(-\gamma,~\delta)$ を直線 $y=\delta$ に

それぞれ重なるように折ることを考えます。図の緑線が、その時の折り線に相当し、赤線はそれぞれ折る操作による移動前後の点を結んでいます。勿論、緑線は赤線の垂直二等分線になりますね。

ここで、赤線の傾きを $p$ として、この $p$ と $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ の関係を調べてみましょう。
(もう一つの方法として、緑線が2放物線の共通接線であることを利用して調べていく手もありますが、今回はもう少し楽に済むように赤線の傾きを主体にする手順で行きます。共通接線でやりたい方は
折り紙で３次方程式が折れるわけ（後編） - tsujimotterのノートブック
を参考にしてみて下さい)

まず、赤線と座標軸との交点の座標はすぐに分かりますね。図中にある通りです。

座標軸が赤線の中点で交わるように設定してあるおかげで、この2点を結ぶ線分と緑線が一致してくれます。

ところで、緑線は赤線と垂直なわけですから、傾きは $-\frac{1}{p}$ です。

というわけで、
　　　　　　 $\displaystyle -\frac{1}{p}=\frac{\beta+p\alpha}{\gamma+\frac{\delta}{p}}$
が成り立ちます。整理すると
　　　　　　 $\displaystyle \alpha p^3 + \beta p^2 + \gamma p + \delta = 0$
となります。即ち、 $p$ は $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ を係数に持つ3次方程式の解であることが確認できました。

$y=\beta$ に対応する折り線をつけてやれば、2点 $(0,\beta +p\alpha),(0,\beta)$ が得られるので、この間の長さ $p\alpha$ と最初に設定した長さ $\alpha$ の比として、先程の三次方程式の解が得られるということになります。 $\alpha=1$ とみなせば、解そのものが長さとして現れてくることになります。

先程の図では $\alpha,\beta,\gamma,\delta\neq 0$ でした。適切に係数を減らせば、2次方程式の解がキチンと出てきてくれるでしょうか? 試しに、 $\delta = 0$ にした図を見てみましょう(別に $\alpha = 0$ でも良いんですけど、個人的に $\delta$ を消してやるほうが図が見やすかったので)。
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先程と同じ手順で、赤線の傾きを $p$ とおいてやると、緑線の傾きを2通りの方法で表してやって
　　　　　　 $\displaystyle -\frac{1}{p}=\frac{\beta +p\alpha}{\gamma}$
となります。整理して、
　　　　　　 $\alpha p^2 + \beta p + \gamma = 0$
となります。確かに、 $p$ が2次方程式の解になっていることが見て取れますね。

例示〜立方体倍積問題〜

三次方程式を実際に解いてみようということで、立方体倍積問題を扱ってみましょう。コンパスと定規だけでは不可能な作図の一つです。

この問題を解くには、与えられた長さの $\sqrt[3]{2}$ 倍の長さを作ってやれば良いです。即ち、
　　　　　　 $p^3-2=0$
の解を求めることになります。先程の一般化した図に落とし込めば、 $\beta = \gamma = 0,~\delta = -2\alpha$ ということになりますね。

てことで、実際に折ってみるとこんな感じになります。
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図の緑、橙点を重ねるように折ってできた折り線によって、基準となる長さ $\alpha$ に対する長さ $\sqrt[3]{2}\alpha$ が得られました。これでデロス市民も政治問題を無事解決できますね。(当時ってパピルスとかあったんでしょうか？)

角の $n$ 等分線

最後に、折り紙で角度を $n$ 等分してみましょう。

$n=2^m(m\in\mathbb N)$ n=2^m

勝手にやって下さい。

$n=3$ n=3

三倍角の公式から三次方程式に帰着させて折り紙公理6を使うのも一つの手なのですが、かなり複雑になります(私に思い付く範囲では)。先ずは簡単につくれるやり方とそれが本当に3等分できているかの確認からしてみましょう。

簡単な折り方

与えられた角(赤)に対し、底辺から2本の折り線を等間隔でつけましょう。そして、点 $\text{A,B}$ をそれぞれ作った折り線に重ねるように折ります。折り紙公理6ですね。赤点線が、最後に出来る折り線になります。これで、下図のようになります。
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こうして出来た2点 $\text{A,A'}$ ( $\text{A'}$ は $\text{A}$ の移動先)を結んだ線で得られる角(緑)が、角(赤)の $\frac{1}{3}$ になっています。

簡単な折り方の証明

それでは、本当に角の三等分が出来ているかを確かめてみましょう。
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といっても、大変なことはなくて上図で $\text{△AMA'}\sim\text{△A'M'A}\sim\text{△B'M'A}$ であることがすぐに示せるので、それと錯角を見つけたら終了です。

…と、証明は幾何で簡単に出来てしまうのですが、先の章で三次方程式を一般的に解いたのでその視点からこの折り方を考えてみましょう。

簡単な折り方を別視点で見てみよう

点 $B$ を移す先の線が先の章での設定と違って辺に平行でないので、 $y$ 軸をどうとるのかが問題になります。ここでは、斜交座標系をとることにしましょう。点 $\text O$ と、 $y$ 軸と辺との交点との距離を1として長さを計算していくことで、各点の座標が以下のように求まります。
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例のごとく、赤線の傾きを $p$ として、この $p$ と $\theta$ との関係を見ていきましょう。
　　　　　　 $\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{3+2\cos\theta\cdot p}{2\cos\theta+\frac{1}{p}}$
整理して、 $\cos\theta=C$ とおいて
　　　　　　 $\displaystyle 2Cp^3+3p^2-2Cp-1=0\cdots(\star)$
となります。

解くのも面倒なので、
Wolfram|Alpha: Computational Intelligence
に突っ込んでみると解がこれまた酷い形に。

と、一旦ここで立ち止まって、「 $p$ はどんな解を持ってくれると嬉しい/持つはず」なのか考えてみましょう。

斜交座標系をとった際に、直交座標系の長さを変えないまま $y$ 軸を傾けたものを作りました。逆に、今ある斜交座標系を直交座標系に戻してやることを考えてみましょう。すると、角の三等分線も一緒に移動していくため、直交座標では傾き $\frac{1}{\sqrt 3}$ の直線になるはずです。即ち、斜交座標系での"傾き" $p$ も $\frac{1}{\sqrt 3}$ になります。
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……… $(\star)$ に $p=\frac{1}{\sqrt 3}$ を代入しても成立しないんですね。何でや。

何でや。

折り紙公理6でゴリ押し

次に、折り紙公理6でゴリ押ししてみましょう。三倍角の公式は $\sin x,\cos x,\tan x$ それぞれに存在します。 $\tan x$ なら基本的に直角な2辺の長さの比で扱えるので楽そうですね。 $\sin x,~\cos x$ だと斜めの長さを扱わなきゃいけないのでコンパス必須になると予想出来ます。ここでは $\tan x$ を主人公に据えて展開してみます。 $\sin x$ を主人公に据えてもやってみはしましたが、かなり図が酷くなったのでオススメはしません。

　　　　　　 $\tan 3\theta=\dfrac{3\tan \theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$
で、 $x=\tan\theta$ を定数 $\tan3\theta=T$ から求めていけば良いので、
　　　　　　 $x^3-3Tx^2-3x+T=0\cdots(\diamond)$
を図上に落とし込んでいきます。ここで、折り紙公理6の設定図では $\delta<0$ の場合を示していましたが、今回の式では $\delta>0$ なので、座標軸と折り紙との位置関係が変わっていることに注意して下さい。更に、折り紙公理6が三次方程式に対応している関係で折り方(=解)が最大3つあるのですが、折り紙公理6の設定図とは異なる解を取りに行ってるので、そこも注意点です。
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例のごとく赤線の傾き $p$ が $(\diamond)$ の解に対応していて、今回の図で丁度 $p=\tan\theta$ になるのでそのまま下の赤線が角の三等分線に対応してくれています。

はい、正方形の折り紙だけでは詰みます。というのも、欲しい解 $\tan\theta$ を出すための折り方だと片方の点を片方の直線に載せようとすると紙面上に乗っている直線の部分からはみ出してしまうわけですね。ですから、大きめの紙の中に正方形を書く等しないと手が出せなくなります。

$n=5$ n=5

5倍角の公式として、
　　　　　　 $\displaystyle \tan 5x=\frac{5\tan x-10\tan^3 x+\tan^5 x}{1-10\tan^3 x+5\tan^4 x}$
があります。なんだこれは。

なので、作図が煩雑になることに目を瞑れば、五次方程式を解くことに帰着出来るのですが…折り紙公理6でも三次方程式までしか解けませんでしたね。てことは、無理なのでしょうか?

実は、折り紙公理を拡張して「同時に複数の折り目を折る操作」を追加してしまうことで、任意の次数の方程式を解けるようになるそうです。なんだこれは。

ここまで来るともはや人力では厳しいものになってくるので、一番マシな「角の五等分」(R.J.Lang)の方法及び証明を紹介しておきます。
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上図で、直線 $l$ によって作られる角(青)に対し、角(緑)がその五等分された角になります。

証明は以下のようになります。
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これを実際に折るとなると、

(勘で)直線 $m$ で折って、直線 $l$ と底辺に平行な直線との交点 $\text{A'}$ をとる。
点 $\text{A}$ を点 $\text{A'}$ に重なるように折る(直線 $n$ )。
このとき、点 $\text{B}$ が直線 $m$ に乗っていればOK。ダメなら1からやり直し。

となります。なんだこれは。

そもそも折り紙公理6がコンパスと定規による作図の限界を簡単に超えられたのは、紙の柔軟性による滑らせが可能であることに起因します。仮に紙が柔らかみを持たず、丁番で止められた二枚の板のようにしか折れなかった場合は折り紙公理6の折り方もまた、

一点を指定された直線に重なるように折る
このとき、もう一点がそちらに指定された直線に乗っていればOK。ダメなら1からやり直し。

という面倒なものになっていました。折り紙の柔軟性による限界(三次方程式)を無理やり超えようとするので、こんな無茶な折り方を強いられてしまうわけですね。

ここでアレなのですが、実はLangの方法だと直接 $\tan 5\theta$ を $\tan\theta$ で表した五次方程式に手を出したわけではなく、元の角を $2\beta +\alpha$ に分解して $\beta = 2\alpha$ にすることで五等分しているので、「本当に『五次方程式』を解いているのか？」という問題があります。

F.Ghourabi, T.Ida, H.Takahashiの示した別の方法では、4本の折り線を同時に折って(Langの方法だと2本)先の五次方程式を解いています。ただ、2本同時ですら既に人間技では無くなっているのでここまで来るとどうしたものか…という感じです。

最後に

なんとなく、「折り紙を上手く使えば小学算数〜中学数学辺りを面白く扱えるのでは」と思い立ってから芳賀の定理→折り紙公理…と色々旅が続いて終いには五次方程式、角の五等分まで来たのでそれをまとめました。まだまだ色々遊べる余地はありそうなので、新しいの見つけたらまた書いてみたいですね。

芳賀の定理で折り紙と数学の関係に興味持ち出してからえらいとこまで来ちゃったなぁという感じ(こんな感じのを春休み中断続的にでも出来てたら無為ではなかったんだろうけど変なキッカケが中々生まれなかったのよな
— 𝖘𝕲𝖞𝖆 (@sGya_youtoo) 2019年3月14日

角の三等分線を折り紙公理6から見ても上手く行かなかったの何でだったんでしょうね。

記事の内容に関して何かありましたら、コメントなり私のTwitterアカウント[@sGya_youtoo]までご連絡なり頂ければ幸いです。

参考

折り紙公理 - Wikipedia
3 与えられた正方形の1/nの面積をもつ正方形
 Origami Geometric Constructions
立方体倍積問題 - Wikipedia
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1666-04.pdf

思考のお道具箱

折り紙と数学で遊んでた話

というわけで

目次

折り紙公理

作図

芳賀の定理

定理の内容

定理の証明

定理の一般化

二次曲線

放物線

その他の二次曲線

折り紙公理6の強さと三次方程式

まずは一般的に

例示〜立方体倍積問題〜

角の $n$ 等分線

$n=2^m(m\in\mathbb N)$ n=2^m

$n=3$ n=3

簡単な折り方

簡単な折り方の証明

簡単な折り方を別視点で見てみよう

折り紙公理6でゴリ押し

$n=5$ n=5

最後に

参考

というわけで

目次

折り紙公理

作図

芳賀の定理

定理の内容

定理の証明

定理の一般化

二次曲線

放物線

その他の二次曲線

折り紙公理6の強さと三次方程式

まずは一般的に

例示〜立方体倍積問題〜

角の等分線

n=2^m

n=3

簡単な折り方

簡単な折り方の証明

簡単な折り方を別視点で見てみよう

折り紙公理6でゴリ押し

n=5

最後に

参考

角の $n$ 等分線

$n=2^m(m\in\mathbb N)$ n=2^m

$n=3$ n=3

$n=5$ n=5